Os apps de apostas vendem uma sensação: a próxima aposta pode ser a certa. A Estatística vende outro produto: o que acontece ao longo de muitas apostas. As duas coisas não se contradizem — vitórias de curto prazo são reais e frequentes —, mas só uma delas descreve o saldo do apostador depois de um ano. Esta nota monta esse quadro a partir dos fundamentos, com todos os números calculados num script reprodutível.
§1Odds são preços
Uma odd decimal \(o\) paga \(o\) por unidade apostada se a aposta ganhar (com a aposta incluída). A probabilidade que tornaria a aposta justa é \(1/o\), a probabilidade implícita. Num mercado justo, as probabilidades implícitas de todos os resultados somam 1. Num mercado real, não somam:
| resultado | odd oferecida | prob. implícita 1/o | odd justa |
|---|---|---|---|
| mandante | 2,10 | 47,6% | 2,20 |
| empate | 3,40 | 29,4% | 3,56 |
| visitante | 3,60 | 27,8% | 3,77 |
| soma | 104,8% |
Mercado ilustrativo de futebol (1X2), não de uma casa específica. A soma passa de 100%: o excedente é a margem.
O que passa de 100% — aqui, 4,8% — é o overround, a margem da casa. Dividir cada probabilidade implícita pela soma remove essa margem e dá as odds justas. Todo preço que o apostador vê foi rebaixado em relação ao valor justo.
§2Valor esperado: a perda já está no preço
Seja \(p\) a probabilidade real de a aposta ganhar. O ganho \(G\) por unidade apostada é \(o - 1\) com probabilidade \(p\) e \(-1\) caso contrário:
Se o mercado for eficiente — suas probabilidades justas iguais às reais, \(p = q\) — e cada preço carregar a margem \(m\), então \(o = 1/\big(q(1+m)\big)\) e
Duas consequências. Primeira: a perda esperada não depende do resultado escolhido — favorito, empate ou zebra, cada unidade apostada perde \(m/(1+m)\) em média, 4,6% no mercado acima. Segunda: nada sobre a habilidade do apostador entra em (2). Para mudar o sinal, é preciso \(p > 1/o\): uma probabilidade melhor que a do mercado, por mais que a margem (§8).
§3A lei dos grandes números
Tome a aposta de referência mais simples: odd 1,91 num evento genuinamente 50/50, um preço comum em mercados “equilibrados”. Então \(\mu = \mathbb{E}[G] = 0{,}5 \times 1{,}91 - 1 = -4{,}5\%\) e o desvio-padrão de uma aposta é \(\sigma = o\sqrt{p(1-p)} = 0{,}955\) — o ruído é vinte vezes maior que o sinal. Por isso uma aposta isolada não diz quase nada.
A lei (forte) dos grandes números diz que o retorno médio por aposta converge para a esperança:
No começo, os caminhos estão em toda parte — alguns apostadores estão 20% ou mais no lucro. A faixa se estreita como \(1/\sqrt n\), e todos os caminhos são puxados para a mesma linha. A lei não diz que o prejuízo é garantido num dia qualquer; diz que a média não se negocia.
§4O teorema central do limite: quando a sorte acaba
O resultado total \(S_n = \sum G_i\) se comporta de outro jeito. Seu valor esperado cai linearmente, \(n\mu\), enquanto a sorte em volta dele cresce só como \(\sigma\sqrt n\). Pelo teorema central do limite,
Linear vence raiz quadrada. A perda esperada ultrapassa dois desvios-padrão de sorte em
A cinco apostas por dia, isso é cerca de um ano. As probabilidades exatas pela binomial:
| apostas n | P(no lucro) | perda esperada (u) | ±2σ√n (u) |
|---|---|---|---|
| 1 | 50,00% | 0,0 | 1,9 |
| 10 | 37,70% | 0,5 | 6,0 |
| 50 | 33,59% | 2,3 | 13,5 |
| 100 | 30,86% | 4,5 | 19,1 |
| 500 | 15,18% | 22,5 | 42,7 |
| 1.000 | 6,86% | 45,0 | 60,4 |
| 2.000 | 1,68% | 90,0 | 85,4 |
| 5.000 | 0,04% | 225,0 | 135,1 |
| 10.000 | < 0,01% | 450,0 | 191,0 |
Apostas de 1 unidade a odd 1,91 num evento 50/50. P(no lucro) calculada exatamente pela binomial. Quando a perda esperada passa de 2σ√n, a sorte já não cobre a margem.
Depois de 100 apostas, quase um apostador em cada três ainda está no lucro — e é exatamente isso que mantém a experiência convincente. Depois de 2.000, menos de 2%. Teste:
§5Apostas múltiplas: a margem se acumula
Uma múltipla multiplica as odds de \(k\) seleções. Também multiplica as margens. Com seleções independentes, cada uma precificada como em (2),
| seleções k | valor esperado por real apostado |
|---|---|
| 1 | -4,6% |
| 2 | -9,0% |
| 3 | -13,1% |
| 5 | -20,9% |
| 8 | -31,3% |
| 10 | -37,5% |
Cada seleção com a margem do mercado acima (4,8%). A margem se multiplica.
Uma múltipla de 5 seleções devolve, em média, cerca de 79 centavos por real apostado: a vantagem da casa é aproximadamente quatro vezes e meia a de uma aposta simples. Os multiplicadores grandes na tela são o lado visível da mesma conta.
§6A ruína do jogador
Bancas reais são finitas. Suponha que um apostador comece com \(k\) unidades, aposte uma unidade por vez a odd 2,00 com probabilidade de vitória \(p\) e pare ao chegar a \(N\) ou a zero. Com \(r = (1-p)/p\), o resultado clássico é
| p de vitória | vantagem por aposta | P(dobrar 50 → 100) | P(quebrar) |
|---|---|---|---|
| 0,500 | 0,0% | 50,00% | 50,00% |
| 0,495 | -1,0% | 26,89% | 73,11% |
| 0,490 | -2,0% | 11,92% | 88,08% |
| 0,480 | -4,0% | 1,79% | 98,21% |
| 0,475 | -5,0% | 0,67% | 99,33% |
| 0,450 | -10,0% | < 0,01% | ≈ 100% |
Apostas de 1 unidade a odd 2,00, começando com 50 unidades e parando em 100 ou em 0 (ruína do jogador).
Num jogo justo, a chance de dobrar 50 unidades é de 50%. Uma desvantagem de apenas dois pontos percentuais (\(p = 0{,}49\)) a reduz a 12%; quatro pontos, a menos de 2%. Vantagens pequenas se tornam decisivas porque o caminho é longo.
§7Falácias que os números descartam
- “Agora vai.” Eventos independentes não têm memória: depois de cinco derrotas, \(p\) continua sendo \(p\). A falácia do apostador confunde a lei dos grandes números — que funciona diluindo os desvios passados — com uma força que os corrige.
- Sequências. Em 100 lançamentos de uma moeda honesta, a maior sequência costuma ter 6 ou 7. Sequências são a cara do acaso, não evidência de fase boa.
- Viés de sobrevivência. Pela tabela da §4, cerca de 31% dos apostadores estão no lucro depois de 100 apostas. Num milhão de jogadores, são centenas de milhares de histórias reais de vitória — selecionadas de uma população que, no agregado, perde 4,5% de tudo o que aposta.
- Regressão à média. Um mês ótimo costuma ser seguido por um mais comum — não porque a sorte “virou”, mas porque resultados extremos são em parte ruído.
§8Alguém consegue ganhar? Kelly e a vantagem
Sim — se estimar \(p\) melhor que o mercado, de forma consistente, por mais que a margem, de modo que \(p\,o - 1 > 0\). Mesmo assim, o tamanho da aposta importa. Apostando uma fração \(f\) da banca com odd líquida \(b = o - 1\), a taxa de crescimento do capital no longo prazo é
\(f^{*}\) é a fração de Kelly. Um apostador que ganha 52% das apostas a odd 2,10 — uma vantagem real de \(p\,o - 1 = 9{,}2\%\) por aposta — deveria apostar cerca de 8,4% da banca por vez, para um crescimento de apenas 0,38% por aposta. Apostar o dobro dessa fração leva a taxa de crescimento a cerca de zero; acima disso, o capital encolhe apesar da vantagem. E, quando não há vantagem, (8) dá \(f^{*} < 0\): a aposta ótima é zero. Na prática, as casas também podem limitar contas que ganham com consistência, o que limita até a rara vantagem real.
§9Conclusões
- A margem está no preço: cada unidade apostada perde \(m/(1+m)\) em média, seja qual for o resultado escolhido.
- A média converge (LGN); o total diverge para baixo, porque \(n|\mu|\) cresce mais rápido que \(\sigma\sqrt n\) (TCL). O cruzamento fica em torno de 1.800 apostas para uma desvantagem de 4,5%.
- Vitórias de curto prazo são frequentes e reais — isso é o produto, não uma falha da matemática.
- Múltiplas acumulam a margem; bancas finitas transformam desvantagens pequenas em ruína quase certa.
- Ganhar exige probabilidades melhores que as do mercado e disciplina no tamanho das apostas — e, sem vantagem, a melhor aposta é não apostar.
Código: research/bets/bets.py (biblioteca padrão, sementes fixas). Referências: J. L. Kelly Jr. (1956), A New Interpretation of Information Rate, Bell System Technical Journal; W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. 1 (ruína do jogador); R. H. Thaler & W. T. Ziemba (1988), Anomalies: Parimutuel Betting Markets, Journal of Economic Perspectives.